Polynômes et fractions rationnelles

1. Polynômes du second degré
1.1 Forme canonique

a) Cas général :
On admet que, pour tout polynôme P du second degré, il existe des nombres réels a, α, β avec a ≠ 0 tels que, pour tout nombre réel x : P(x) = a(x + α)² + β
Cette écriture de P(x) est appelée forme canonique.

Retenir :
Pour trouver la forme canonique de

P(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0
– On met le nombre a en facteur :
  P(x) = a(x² + (b/a)x + c/a)
– On considère que x² + (b/a)x est le début du développement de (x + b/2a)²
– On cherche le nombre β qu’il faut ajouter pour obtenir x² + (b/a)x + c/a

Formule générale à retenir :
P(x) = a[(x + b/2a)² – Δ / 4a²]
avec Δ = b² – 4ac

Exemples :
a) P(x) = x² – 2x + 5
P(x) = (x – 1)² + 4

b) P(x) = 4x² – 12x – 7
P(x) = 4[(x – 3/2)² – 4]
c) P(x) = -2x² – 5x + 3
P(x) = -2[(x + 5/4)² – 49/16]