Partie I : Équations

1. Montrer que dans chacun des cas suivants les équations (E1) et (E2) dans A sont équivalentes.

1) (E1) : x/2 – 3 = x/3 – 4
   (E2) : 3x – 18 = 2x – 24 ; A = ℝ

2) (E1) : |x – 2| = 5
   (E2) : (x – 2)² = 25 ; A = ℝ

3) (E1) : x + x³ = 4x
   (E2) : 1 + x² = 4 ; A = ℝ

4) (E1) : (2x + 1)/(x – 1) = (x – 1)/(2x + 1)
   (E2) : (2x + 1)² = (x – 1)² ; A = ℝ \ {1 ; -1/2}

Partie II : Inéquations

2. Dans chacun des cas suivants, les inéquations (I1) et (I2) dans A sont-elles équivalentes ?

1) (I1) : x/2 – 3 ≤ x/3 – 4
   (I2) : 3x – 18 ≤ 2x – 24 ; A = ℝ

2) (I1) : |x – 2| ≤ 5
   (I2) : (x – 2)² ≤ 25 ; A = ℝ

3) (I1) : x + x³ ≤ 4x
   (I2) : 1 + x² ≤ 4 ; A = ℝ

4) (I1) : (2x + 1)/(x – 1) ≤ (x – 1)/(2x + 1)
   (I2) : (2x + 1)² ≤ (x – 1)² ; A = ℝ \ {1 ; -1/2}

Corrigés

Equations :

1) (E1) ⇔ x/2 – 3 = x/3 – 4
   Multiplier par 6 :
   3x – 18 = 2x – 24 ⇔ (E2)
   Donc équivalentes.

2) |x – 2| = 5 ⇔ x – 2 = 5 ou x – 2 = -5
   ⇒ x = 7 ou x = -3
   (x – 2)² = 25 ⇔ mêmes solutions
   Donc équivalentes.

3) x + x³ = 4x ⇔ x³ – 3x = 0
   ⇔ x(x² – 3) = 0
   ⇒ x = 0 ou x = ±√3

   1 + x² = 4 ⇔ x² = 3
   ⇒ x = ±√3

   Pas totalement équivalentes (solution 0 en plus dans E1).

4) (2x + 1)/(x – 1) = (x – 1)/(2x + 1)
   ⇔ (2x + 1)² = (x – 1)² avec conditions x ≠ 1 et x ≠ -1/2
   Donc équivalentes sur A.

Inéquations :

1) Même transformation ⇒ équivalentes.

2) |x – 2| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x – 2 ≤ 5 ⇒ -3 ≤ x ≤ 7
   (x – 2)² ≤ 25 ⇒ même résultat ⇒ équivalentes.

3) x + x³ ≤ 4x ⇔ x³ – 3x ≤ 0 ⇔ x(x² – 3) ≤ 0
   ⇒ solutions différentes de 1 + x² ≤ 4
   Donc non équivalentes.

4) Même transformation avec conditions ⇒ équivalentes.